数学作文（第四届数学文化征文）

本文为“2022年第四届数学文化征文活动

我眼中的数学思想

作者 : 刘瑞祥

作品编号：097

数学思想是一个很大的题目，论述的人很多，但是有的文章虽然以“数学思想”为标题，而内容却未必真的是数学思想，可能只是具体的解题方法。本文谈谈我眼中的数学思想。需要提前说明的是，这里只是我——一个普通数学爱好者——眼中的数学思想。

一、抽象化思想

最重要、最基本的数学思想就是抽象化。打从人类认识数字开始，就有了抽象化思想，可以说抽象在数学中无所不在，理应成为数学思想中的No.I。各种几何对象亦是抽象了的产物，比如点、线、面等等。尺规作图方面，直尺被抽象成无限长、无刻度的工具，圆规被抽象成脚距任意的工具，如此等等。进一步看，无论是集合，还是布尔代数，都是把研究对象尽量抽象，一直抽象到只剩一个字母作为躯壳而已。再比如欧拉对哥尼斯堡七桥问题的研究，也是把桥抽象成线，岛抽象为点的。抽象舍弃了与当下无关的次要因素，从而更深刻揭示事物的本质特征，展现出不同事物之间的共同点。而现代数学中的抽象早已超出了人类能直接想象的范围。

数学的抽象还影响到了其它学科。以力学为例，质点、质点组、刚体、弹性体等等就是客观实物不同程度的抽象。

二、确定性思想

自从数学诞生以来，数学问题的答案正误就像黑白一样分明。等于就是等于，不等于就是不等于。哪怕两者之间有着万亿分之一的差距，已经在现实中无法分辨，但在严格的数学上仍然是有区别的。这其中最佳例子就是圆周率，虽然现代数学已经可以计算出若干亿位数字，而它的精确表示方法仍然只是字母π。

说到这里我要补充一句，那就是伴随着现代数学的发展，好像这一思想已经变得过时了。不是有一本书就叫做《数学：确定性的丧失》吗？但在我这个低水平写手的眼里，这不过是一种误解，因为所谓“确定性的丧失”，其实是前提或者问题本身的变化而变化的。比如所谓非欧几何，因为前提（公设）和欧氏几何不同，所以才推出不同的结论。而要研究这些问题可能的结果，仍然需要数学。这正像工业化带来了环境污染，但要解决污染就要进一步发展工业。

三、公理化思想

说实话，这才是我第一个想到的数学思想，因为我毕竟是通读过《几何原本》的人。公理化方法其实基本就是逻辑法，在数学上的地位毋庸置疑，而其历史和意义我也不再重复。我只说一个问题：一般谈到公理化的人，往往会提到自洽性、独立性、完备性这三个特点。但从实用的角度来看，公理还应该具有简洁、方便的特点。比如三角形内角定理、勾股定理在一定程度上反映了平行公设，那为什么不以之代替平行公设呢？原因就在于不方便、不直观。

公理又是反直观的产物，因为如果把全部数学（当然这里的“全部”是指某个研究领域的“全部”）都归为公理的产物，那么这些公理必然是已经去掉了直观的表象，只剩下一堆逻辑命题。这当然对某些领域是有益的，比如机器证明，但对于人们的理解却是困难的。

四、算法化思想

我们在称赞公理化的同时，不应该忘记算法化思想，或者也可以称为“机械化思想”。不论这在古代是不是东方（中国）独有的思想，都无损于它独立于公理化思想的地位。它和公理化思想互相补充，相映成趣，宛如数学上的并蒂莲花。在数学上，凡是可以写成一定算法的内容，意味着具有简单、通用的解答方法，当然这个算法越简单就越好。比如用阿拉伯数字演算加减乘除，就比用罗马数字方便，再比如使用方程解应用题，就比直接列式容易，因为方程不但意味着多了一个条件（把未知量用字母表示出来），也意味着只要按照一定的程序，就可以得到结果。

在现代社会，算法更是得到了计算机的加持，可以发挥更大作用。我国数学家吴文俊、张景中等，深入挖掘算法思想，在机器证明领域做出了突出贡献。这充分证明了算法思想对现代数学的意义。

五、模型化思想

谈数学思想，不能离开模型化思想。比如前面提到的公理化思想中已经涉及非欧几何，而非欧几何的“合法地位”是和数学家建立非欧几何的模型分不开的。数学家适当修改了关于“直线”“平行”等概念的定义（或人们对之的印象），使得原来的平行公理不再适用。当然模型对几何基础的功劳不止于此，比如普通的四面体就可以看作是某些公理的一个模型：它满足两点（这里的点仅指“顶点”）确定一直线、两线交于一点等公理。

实数论把实数和直线上的点对应起来，从而使得实数有了坚实的基础。而复数则是模型化的又一个例子。平面上的点和复数建立一一对应的关系，这以后就可以用平面上点的坐标研究复数了。类似的，高维空间超出了人类直觉把握的能力，如何研究？方法很简单，就是用列（或行）向量作为其模型，使高维空间的点和一组实数对应起来。

六、转化思想

数学上的转化无处不在。最初等的比如把应用题中的条件转化为式子，高级一点的比如把数量关系转化为图形。适当的转化往往可以简化问题，为我们最终解决问题提供一个良好的途径。比如，设a,b,c,d均大于0且a/b<c/d，则可证a/b<(a+c)/(b+d)<c/d。这个问题虽然可以借助字母进行推理，但无论如何不如转化为斜度、平均速度等问题来得直接、清楚。而式子

更需要借助类似于下面的图来证明。

再举几个转化的例子吧。比如怎样得出平行四边形面积公式？方法便是将其转化为长方形。而几何中更常见的是各种数量关系和图形位置的转化，比如要证明平行，可证明同位角相等，反之亦然。反证法也是转化的例子，如果你无法直接证明，可以证明结论的反面不成立。

前面提到的模型化思想，似乎也可以称为转化思想，但二者在本文中的区别是，模型化指的是更“基本”的方面，往往针对一个数学领域，而“转化”则是针对具体的数学问题。

七、极限思想

极限是微积分的基本概念，而微积分在现代数学中的地位是无可置疑的。众所周知的是，极限概念经过几代数学家的努力，终于有了一个坚实的基础。由此，微积分才成为一个可以放心使用的工具。

在几何上，极限有几个重要应用：首先是割线的极限为切线，其次是利用极限方法求面积和体积。这正是微分和积分的源头。然而微积分一旦产生，就冲出数学界，成为各个领域的有力工具，这甚至早在极限概念严格化之前就发生了。

愈是重要的就愈难用语言描述。关于极限，就说到这里了。

八、恒定思想

只有真正永恒的才是有价值的。这句话虽然是杨振宁先生为怀念邓稼先而写的，但同样适用于其它领域，比如数学。在数学上，有意义的是某种变换下不变的量。以欧拉定理为例，V-E+F=2，这个常量2就是一个重要的不变量，它揭示了不同的简单多面体之间的联系。如果引入“体数”S，则上式可以写作V-E+F-S=1，这里各字母依次是点（零维）、棱（一维）、面（二维）、体（三维）。不但如此，对于一维图形，由二点一线组成，二维简单图形则是n点n线，均满足后者。射影几何中，也有很多重要的不变量（不变关系），比如交比、结合性等。

在解方程（不等式）的过程中，需要保持每一步变形都是同解变形，如果遇到可能产生不同解的操作，则需要验根。

关于这一思想，我要说明的最后一点是，这个思想的名字是我自己起的，因为我没有找到合适的专有名词。

欢迎读者的补充和讨论。

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