魔方怎么还原六面（魔方可以还原六面的数学原理）

日期：2022/05/26 10:37:24图片：未知人气：+

魔方小课堂

很多小朋友都很喜欢玩魔方也通过各种方式都学会了魔方，都是根据现有的公式和方法来学习，王老师一直建议小朋友不仅仅学会魔方，还要知道背后的原理和思路，正所谓知其然，也要知其所以然，今天我们来看看魔方六面还原中蕴含的那些数学原理

一%20魔方结构

魔方的构成%20三阶魔方是由%203×3×3-1=26%20个小方块组成的立方体，有%206%20个面（还原之后每个面颜色相同，共%206%20种颜色），每个面有%209%20个%20小面，共%2054%20个小面。26%20个小方块包括%206%20个中心块（仅一个可见%20面）、12%20个棱块（两个可见面）、%208%20个角块（三个可见面）

.魔方的还原%20魔方每个面都可以绕轴任意转动，随便转动几个面，魔方%20就会成为颜色斑驳的状态。将这样的状态改变成为每个面上的%20所有小面颜色都相同称为魔方的还原。还原过程实际就是根据%20每一面中心块的颜色，对棱块和角块进行“对色”与“对位”。

二魔方中的数学

一魔方中的排列组合

由排列组合中的乘法和加法原理可知，三阶魔方共有 8！×38×12！×212 3×2×2 种状态。除去被轴固定的 6 个中心块外，剩余 20 个小块， 8 个角块放在 8 个角位置，全排列为 8！，每个角块的三种颜色因为方向的不同又有 3 种方法，因此共有 8！× 38 种排列；同理，12 个棱块共有 12！×212 种排列。

但是魔方还原过程中，保持其他小块不动时，不可以单独改变一个角块的朝向，不可以单独改变一个棱块的朝向，也不可以单独交换一对棱块或一对角块的位置，因此需要除去 3×2×2。由此可见，要凭运气把一个颜色斑驳的魔方还原成同面同色几乎是不可能的。

二魔方的对称性

对称是一个几何图形 Φ 的如下性质：在某个变换群 G 的作用下， Φ 被映射到自身上，这个群称为对称群。如果变换群 G 是一条直线，那么几何图形 Φ 就是关于直线 G 的对称图形；如果变换群 G 是一个点，那么几何图形 Φ 就是以点 G 为中心的对称图形。

若以点 G 为中心的对称图形 Φ 在平面内绕着 G 旋转 360°/n（n 是一个整数）后与自身重合，那么 Φ 有一个 n 阶对称，且 G 称为其对称中心。如图 a， b， c 分别是以 O 为中心的 2 阶、 4 阶、 3 阶对称。这样的对称性在正方体中完全展现，只是此时绕平面内某点的旋转换成了空间中绕某直线的旋转。

三阶正方体魔方具有%202%20阶、%203%20阶、%204%20阶对称轴，这样的对称%20性是除了球体以外的其他物体所不能比拟的［1］。魔方的还原过%20程就在于旋转中魔方色块位置的交换，对于魔方每层每次的旋%20转都是绕着该层中心块的变换，这样的保持点间距离不变的空

三%20魔方群

魔方的转动是指将魔方某个面上的所有块顺时针（面对该面）旋转%2090°。相应的，若是逆时针旋转则称为逆转动。为了记录下转乱、复原的过程，习惯上采用由%20David%20Singmaster%20发明的符号来书写。以英文%20Up（上）、Down（下）、Front%20（前）、Back（后）、Left（左）、Right（右）的第一个字母分别表示魔%20方的上、下、前、后、左、右六个面的转动；用小写字母%20u、%20d、%20f、%20b、%20l、%20r%20表示各面及相应的中心块；用%20xy%20来表示位于%20x%20面%20y%20位置的%20棱块小面，如%20uf%20表示%20u（上）面%20f（前）位置的小面；用%20xyz%20表示位%20于%20x%20面%20yz%20位置的角块小面，如%20ufr%20表示位于示%20u（上）面%20fr（前%20右）位置的小面。%20

在对魔方任意一个面进行转动的时候，该面所在层的中心%20块不会改变，其余%2020%20个小面的位置随之发生改变，这样的转动%20可以用一系列小面的置换来表示：U=（ulb%20ubr%20urf%20ufl%20）（ub%20ur%20uf%20ul）（bul%20rub%20fur%20luf）（bu%20ru%20fu%20lu）（bru%20rfu%20flu%20lbu）%20D=（dbl%20dlf%20dfr%20drb）（db%20dl%20df%20dr）（bld%20lfd%20frd%20rbd）（bd%20ld%20fd%20rd）（bdr%20ldb%20fdl%20rdf）%20F=（flu%20fur%20frd%20fdl）（fu%20fr%20fd%20fl）（ufl%20rfu%20dfr%20lfd）（uf%20rf%20df%20lf%20）（urf%20rdf%20dlf%20luf）%20B=（bul%20bld%20bdr%20bru）（bu%20bl%20bd%20br）（ulb%20ldb%20drb%20rub）（ub%20lb%20db%20rb）（ubr%20lbu%20dbl%20rbd）%20L=（luf%20lfd%20ldb%20lbu）（lu%20lf%20ld%20lb）（ufl%20fdl%20dbl%20bul）（ul%20fl%20dl%20bl）（ulb%20flu%20dlf%20bld）%20R=（rfu%20rub%20rbd%20rdf）（ru%20rb%20rd%20rf）（urf%20bru%20drb%20frd）（ur%20br%20dr%20fr）（ubr%20bdr%20dfr%20fur）%20

设 G= U， D， F， B， L， R 是魔方所有转动生成的集合，可以证明该集合以合成作为运算构成一个群，称为魔方群。它是上述一系列小面的置换作为生成元的一个循环群。G 中的元素代表了所有置换的情形，魔方变换的所有状态都能够找到与之相应的元素，魔方从还原状态经过一系列变化再次还原，实现了一次循环，实际也是 G 中的元素经过周期性的操作能够实现的，从中可以看到魔方还原与循环群的共性。